Das Ziegenproblem

Das sogenannte Ziegenproblem – international meist als Monty-Hall-Problem bezeichnet – gehört zu den bekanntesten Beispielen für eine Wahrscheinlichkeitsaussage, die unserer spontanen Intuition widerspricht.

Die Ausgangssituation

Hinter drei geschlossenen Türen befinden sich ein Auto und zwei Ziegen. Eine Kandidatin oder ein Kandidat wählt zunächst eine Tür. Anschließend öffnet der Moderator eine andere Tür, hinter der sich eine Ziege befindet. Nun darf die erste Wahl beibehalten oder zur einzigen anderen geschlossenen Tür gewechselt werden.

Für die klassische Lösung gelten vier entscheidende Regeln:

• Der Moderator weiß, hinter welcher Tür das Auto steht.
• Er öffnet niemals die zuerst gewählte Tür.
• Er öffnet immer eine Tür mit einer Ziege.
• Er bietet anschließend immer den Wechsel an.

Die verbreitete 50:50-Intuition

Nach dem Öffnen der Ziegentür sind nur noch zwei Türen geschlossen. Daher liegt der Gedanke nahe, das Auto müsse nun mit gleicher Wahrscheinlichkeit hinter jeder dieser Türen stehen. Diese Überlegung übersieht jedoch, dass der Moderator die Tür nicht zufällig geöffnet hat. Er kennt die Position des Autos und ist durch die Spielregeln gezwungen, eine Ziegentür zu zeigen.

Die Information des Moderators verändert daher nicht rückwirkend die Wahrscheinlichkeit der ersten Wahl. Diese lag beim Auswählen bei einem Drittel und bleibt bei einem Drittel. Die beiden zunächst nicht gewählten Türen hatten zusammen eine Wahrscheinlichkeit von zwei Dritteln. Nachdem der Moderator aus dieser Gruppe gezielt eine Ziegentür entfernt hat, liegt die gesamte Wahrscheinlichkeit von zwei Dritteln auf der einzigen anderen geschlossenen Tür.

Lösungsweg 1: Alle möglichen Anfangswahlen

Nehmen wir an, das Auto steht hinter Tür 1. Da jede der drei Türen mit gleicher Wahrscheinlichkeit zuerst gewählt wird, gibt es drei gleich wahrscheinliche Fälle:

Wer bei der ersten Wahl bleibt, gewinnt nur dann, wenn das Auto sofort getroffen wurde: in einem von drei Fällen. Wer konsequent wechselt, gewinnt immer dann, wenn die erste Wahl falsch war: in zwei von drei Fällen.

Lösungsweg 2: Die Wahrscheinlichkeit der Türgruppen

Bei der ersten Wahl beträgt die Chance, das Auto zu treffen, ein Drittel. Umgekehrt beträgt die Chance, dass das Auto hinter einer der beiden anderen Türen steht, zwei Drittel.

Der Moderator liefert anschließend zusätzliche Information, aber nur innerhalb der Gruppe der beiden nicht gewählten Türen: Er zeigt dort gezielt eine Ziege. Er kann die Wahrscheinlichkeit von zwei Dritteln nicht auf die geöffnete Tür verteilen, denn dort ist nun sicher kein Auto. Damit verbleiben die zwei Drittel bei der einzigen anderen geschlossenen Tür.

Anders formuliert: Die Wechselstrategie gewinnt genau dann, wenn die erste Wahl falsch war. Da die erste Wahl mit Wahrscheinlichkeit zwei Drittel falsch ist, gewinnt die Wechselstrategie ebenfalls mit Wahrscheinlichkeit zwei Drittel.

Das 100-Türen-Gedankenexperiment

Mit hundert Türen wird der Unterschied meist anschaulicher:

1. Hinter einer von 100 Türen steht ein Auto.
2. Man wählt eine Tür. Die Trefferwahrscheinlichkeit beträgt nur 1 %.
3. Der informierte Moderator öffnet 98 andere Türen und zeigt hinter jeder eine Ziege.
4. Geschlossen bleiben nur die zuerst gewählte Tür und eine weitere Tür.

Die erste Tür ist durch das Öffnen der anderen Türen nicht plötzlich wahrscheinlicher geworden; sie besitzt weiterhin nur 1 % Gewinnchance. Die übrigen 99 % liegen auf der einzigen anderen geschlossenen Tür. Unter diesen Regeln wäre ein Wechsel besonders offensichtlich sinnvoll.

Überprüfung mit einer Python-Simulation

Eine Simulation ersetzt den mathematischen Beweis nicht, macht das Ergebnis aber experimentell sichtbar. Das folgende Programm simuliert den gesamten Ablauf einschließlich der regelkonformen Wahl des Moderators:

import random

rng = random.Random(2026)
tuer_nummern = (0, 1, 2)
spiele = 100_000

bleiben_gewinnt = 0
wechseln_gewinnt = 0

for _ in range(spiele):
    auto = rng.choice(tuer_nummern)
    erste_wahl = rng.choice(tuer_nummern)

    # Der Moderator darf weder die gewählte Tür noch
    # die Tür mit dem Auto öffnen.
    moegliche_tueren = [
        tuer for tuer in tuer_nummern
        if tuer != erste_wahl and tuer != auto
    ]
    geoeffnet = rng.choice(moegliche_tueren)

    # Nach dem Öffnen bleibt neben der ersten Wahl
    # genau eine weitere geschlossene Tür übrig.
    wechsel_tuer = next(
        tuer for tuer in tuer_nummern
        if tuer not in (erste_wahl, geoeffnet)
    )

    if erste_wahl == auto:
        bleiben_gewinnt += 1

    if wechsel_tuer == auto:
        wechseln_gewinnt += 1

print(f"Bleiben:  {bleiben_gewinnt / spiele:.3%}")
print(f"Wechseln: {wechseln_gewinnt / spiele:.3%}")

Mit dem festgelegten Startwert 2026 ergibt sich reproduzierbar:

Bleiben:  33.195%
Wechseln: 66.805%

Bei anderen Startwerten schwanken die Werte geringfügig. Mit wachsender Zahl der Spiele nähern sie sich jedoch immer stärker den theoretischen Werten von einem Drittel und zwei Dritteln an.

Wann wäre die Rechnung anders?

Die Lösung hängt vom Verhalten des Moderators ab. Öffnet er eine Tür zufällig, kennt er den Standort des Autos nicht, bietet er den Wechsel nicht immer an oder folgt er einer anderen Auswahlregel, entsteht ein anderes Wahrscheinlichkeitsmodell. Die Aussage „Wechseln gewinnt mit zwei Dritteln“ gilt daher nicht für jede beliebige Variante, sondern für die oben genannten klassischen Regeln.

Warum das Problem lehrreich ist

Das Ziegenproblem zeigt, dass Wahrscheinlichkeiten nicht allein danach beurteilt werden dürfen, wie viele Möglichkeiten sichtbar übrig bleiben. Entscheidend ist auch, wie die beobachtete Information zustande gekommen ist. Das gezielte Handeln eines informierten Moderators ist etwas anderes als eine zufällige Auswahl.

Gero von Randows Buch

Gero von Randow nutzt das Ziegenproblem als Ausgangspunkt für eine allgemein verständliche Auseinandersetzung mit Wahrscheinlichkeit, Zufall und typischen Denkfehlern. Das Buch zeigt, weshalb statistisches Denken häufig gegen unsere unmittelbare Intuition arbeitet und weshalb gerade deshalb eine formale Betrachtung hilfreich ist.

Literatur: Gero von Randow, Das Ziegenproblem – Denken in Wahrscheinlichkeiten, Rowohlt.