Quand la majorité est-elle plus avisée que les experts ?

Lorsque de nombreuses personnes votent, les erreurs individuelles peuvent se compenser. Mais est-ce toujours le cas ? Et un très grand groupe de personnes seulement modérément bien informées peut-il surpasser un petit groupe de très bons experts ?

La réponse est surprenante : oui – sous certaines hypothèses mathématiques. Mais ces hypothèses sont si importantes qu’il serait trompeur d’en tirer un argument politique simple.

Un modèle simple

Supposons que chaque décideur réponde à une question factuelle pour laquelle il existe une réponse objectivement vérifiable. Notons p la probabilité qu’une personne donnée réponde correctement.

Avec trois décideurs indépendants, la majorité a raison si exactement deux personnes, ou les trois, ont raison :

P₃(p) = 32 · p² · (1−p) + p³

Le coefficient binomial 32 = 3 se lit « 2 parmi 3 » : il existe trois façons de choisir quelles sont les deux personnes qui ont raison. Le facteur p² représente deux réponses correctes et (1−p) une réponse incorrecte.

Pour un nombre impair n de décideurs indépendants :

P_n(p) = Σ_k=(n+1)/2ⁿ nk · p^k · (1−p)^n−k

nk désigne ici le coefficient binomial « k parmi n », c’est-à-dire le nombre de façons d’obtenir exactement k réponses correctes parmi n décideurs.

Le seuil se situe à 50 pour cent

Si p > 0,5, le vote majoritaire devient plus fiable lorsque le groupe grandit.
Si p = 0,5, un groupe plus grand n’apporte aucun avantage.
Si p < 0,5, la majorité devient de plus en plus fiable… pour se tromper.

Probabilité que la majorité ait raison pour différentes tailles de groupe — Plus le groupe est grand, plus un léger avantage individuel au-dessus de 50 % est amplifié – mais il en va de même pour un désavantage en dessous de 50 %.

Expérience de pensée : 11 scientifiques contre 1 001 citoyens

Supposons, de manière purement hypothétique, que 11 scientifiques aient chacun une probabilité individuelle de p_E = 0,80 de répondre correctement à une question factuelle clairement définie.

Sous l’hypothèse idéalisée d’erreurs indépendantes, la probabilité que la majorité de ces 11 experts ait raison est d’environ 98,83 %.

Question : quelle devrait être la probabilité individuelle de réponse correcte d’un citoyen pour qu’un groupe de 1 001 citoyens atteigne la même fiabilité ?

Le calcul donne seulement p_V = 0,5358, soit environ 53,58 % de précision individuelle.

Comparaison entre 1 001 citoyens et 11 experts — Sous l’hypothèse idéalisée d’indépendance, un très grand groupe peut égaler un groupe beaucoup plus petit de décideurs nettement plus précis.

Cela paraît d’abord paradoxal. Le citoyen individuel n’est que légèrement meilleur que le hasard. Mais si un très grand nombre de décisions sont réellement indépendantes, il devient extrêmement improbable que plus de la moitié soient simultanément fausses. Cette idée est étroitement liée au théorème du jury de Condorcet.

Posons maintenant la question dans l’autre sens

Fixons la probabilité individuelle des citoyens à p_V = 0,55. Combien de citoyens faut-il pour égaler des groupes d’experts dont chaque membre a p_E = 0,80 ?

Groupe d’experts	Citoyens nécessaires avec p = 0,55
3 experts	159
5 experts	247
11 experts	513
21 experts	957

Nombre de citoyens nécessaires pour différentes tailles de groupes d’experts — Plus la majorité des experts est déjà fiable, plus le groupe comparatif moins compétent doit être grand.

Le point décisif : l’indépendance

Les mathématiques sont correctes, mais leur hypothèse la plus importante est aussi la plus problématique : les erreurs des décideurs doivent être suffisamment indépendantes.

Si 1 000 personnes utilisent la même source erronée, nous n’avons pas 1 000 jugements indépendants. Médias communs, réseaux sociaux, campagnes politiques, rumeurs ou présupposés culturels peuvent fortement corréler les erreurs.

Le même problème existe chez les experts. Des scientifiques peuvent lire les mêmes publications, utiliser des modèles similaires ou partager les mêmes erreurs systématiques de mesure.

Ce qui compte n’est donc pas seulement le nombre de personnes qui décident, mais aussi l’indépendance de leurs sources d’information et de leurs erreurs.

Questions factuelles et questions de valeurs

Le modèle suppose qu’il existe une réponse objectivement vérifiable. Cette idée est au moins pertinente en principe pour de nombreuses questions scientifiques et techniques.

Les décisions politiques comportent cependant souvent des jugements de valeur. La science peut étudier les conséquences probables, les risques et les coûts d’une mesure, mais elle ne peut pas décider à elle seule quels objectifs une société doit poursuivre ni comment pondérer des intérêts concurrents.

Cette expérience de pensée ne montre donc ni que les consultations populaires sont supérieures aux experts, ni que les experts devraient remplacer les décisions démocratiques.

Retour au Random Forest

Le point de départ de cette expérience de pensée était une méthode d’apprentissage automatique : le Random Forest. Il combine de nombreux arbres de décision. Ceux-ci ne doivent pas seulement être raisonnablement bons ; grâce aux échantillons bootstrap et à la sélection aléatoire des variables, ils doivent aussi commettre des erreurs différentes.

Trois facteurs interagissent dans un ensemble performant : la qualité individuelle, la taille du groupe et la diversité des erreurs.

De nombreux décideurs suffisamment bons et aussi indépendants que possible peuvent être étonnamment puissants collectivement.