Il problema di Monty Hall

Il cosiddetto problema di Monty Hall è uno degli esempi più noti di un risultato probabilistico in conflitto con la nostra intuizione spontanea.

La situazione iniziale

Dietro tre porte chiuse si trovano un’automobile e due capre. Un concorrente sceglie anzitutto una porta. Il conduttore apre poi un’altra porta, dietro la quale si trova una capra. Il concorrente può ora mantenere la scelta iniziale oppure passare all’unica altra porta ancora chiusa.

Quattro regole sono decisive per la soluzione classica:

• Il conduttore sa dietro quale porta si trova l’automobile.
• Non apre mai la porta scelta inizialmente.
• Apre sempre una porta dietro la quale c’è una capra.
• Offre sempre al concorrente la possibilità di cambiare porta.

L’intuizione comune del 50:50

Dopo che è stata aperta la porta con la capra, rimangono chiuse soltanto due porte. È quindi naturale pensare che l’automobile debba trovarsi con la stessa probabilità dietro l’una o l’altra. Questo ragionamento trascura però il fatto che il conduttore non ha aperto una porta a caso. Sa dove si trova l’automobile e, in base alle regole del gioco, è obbligato a mostrare una capra.

L’informazione fornita dal conduttore non modifica retroattivamente la probabilità della prima scelta. Nel momento della scelta, tale probabilità era un terzo e rimane un terzo. Le due porte inizialmente non scelte avevano insieme una probabilità di due terzi. Quando il conduttore elimina deliberatamente da questo gruppo una porta con una capra, l’intera probabilità di due terzi rimane sull’unica altra porta chiusa.

Soluzione 1: tutte le possibili scelte iniziali

Supponiamo che l’automobile si trovi dietro la Porta 1. Poiché ciascuna delle tre porte ha la stessa probabilità di essere scelta per prima, esistono tre casi equiprobabili:

Un concorrente che mantiene la prima scelta vince soltanto se ha scelto subito l’automobile: un caso su tre. Un concorrente che cambia sempre vince ogni volta che la prima scelta era sbagliata: due casi su tre.

Soluzione 2: probabilità di gruppi di porte

Alla prima scelta, la probabilità di scegliere l’automobile è un terzo. Viceversa, la probabilità che l’automobile si trovi dietro una delle altre due porte è due terzi.

Il conduttore fornisce poi un’informazione aggiuntiva, ma soltanto all’interno del gruppo delle due porte non scelte: rivela deliberatamente una capra. La probabilità di due terzi non può rimanere sulla porta aperta, perché ora sappiamo con certezza che lì non c’è l’automobile. I due terzi restano quindi sull’unica altra porta chiusa.

Detto in altro modo: la strategia del cambio vince esattamente quando la prima scelta era sbagliata. Poiché la prima scelta è sbagliata con probabilità due terzi, anche il cambio vince con probabilità due terzi.

L’esperimento mentale delle 100 porte

Con cento porte la differenza è di solito più facile da vedere:

1. Un’automobile si trova dietro una delle 100 porte.
2. Scegliete una porta. La probabilità che sia quella giusta è soltanto dell’1%.
3. Il conduttore informato apre altre 98 porte e mostra dietro ciascuna una capra.
4. Rimangono chiuse soltanto la porta scelta inizialmente e un’altra porta.

La prima porta non è diventata improvvisamente più probabile soltanto perché le altre sono state aperte; conserva una probabilità di vincita dell’1%. Il restante 99% si concentra sull’unica altra porta chiusa. Con queste regole, cambiare è chiaramente vantaggioso.

Verifica con una simulazione Python

Una simulazione non sostituisce la dimostrazione matematica, ma rende il risultato visibile sperimentalmente. Il programma seguente simula l’intero processo, compresa la scelta del conduttore conforme alle regole:

import random

rng = random.Random(2026)
porte = (0, 1, 2)
partite = 100_000

vittorie_restando = 0
vittorie_cambiando = 0

for _ in range(partite):
    auto = rng.choice(porte)
    prima_scelta = rng.choice(porte)

    # Il conduttore non può aprire né la porta scelta
    # né la porta dietro la quale si trova l'automobile.
    porte_possibili = [
        porta for porta in porte
        if porta != prima_scelta and porta != auto
    ]
    aperta = rng.choice(porte_possibili)

    # Dopo che il conduttore apre una porta, rimane
    # esattamente un'altra porta chiusa oltre alla prima scelta.
    porta_cambio = next(
        porta for porta in porte
        if porta not in (prima_scelta, aperta)
    )

    if prima_scelta == auto:
        vittorie_restando += 1

    if porta_cambio == auto:
        vittorie_cambiando += 1

print(f"Restare:  {vittorie_restando / partite:.3%}")
print(f"Cambiare: {vittorie_cambiando / partite:.3%}")

Con il seed fisso 2026, il risultato è riproducibile:

Restare:  33.195%
Cambiare: 66.805%

Con altri seed i valori variano leggermente. Tuttavia, aumentando il numero di partite, si avvicinano sempre di più ai valori teorici di un terzo e due terzi.

Quando il calcolo sarebbe diverso?

La soluzione dipende dal comportamento del conduttore. Se apre una porta a caso, non sa dove si trova l’automobile, non offre sempre la possibilità di cambiare oppure segue un’altra regola di selezione, si ottiene un modello probabilistico diverso. L’affermazione “cambiare vince con probabilità due terzi” non vale quindi per ogni possibile variante, ma soltanto per le regole classiche elencate sopra.

Perché il problema è istruttivo

Il problema di Monty Hall mostra che le probabilità non possono essere giudicate soltanto contando quante possibilità rimangono visibilmente. Conta anche come è stata generata l’informazione osservata. L’azione deliberata di un conduttore informato è diversa da una selezione casuale.

Il libro di Gero von Randow

Gero von Randow usa il problema di Monty Hall come punto di partenza per una discussione accessibile su probabilità, caso ed errori tipici di ragionamento. Il libro mostra perché il pensiero statistico entra spesso in conflitto con la nostra intuizione immediata — e perché un’analisi formale è quindi così utile.

Riferimento: Gero von Randow, Das Ziegenproblem – Denken in Wahrscheinlichkeiten, Rowohlt.