Monty Hall Problemi

Monty Hall problemi, olasılık hesabının gündelik sezgimizle çeliştiği en ünlü örneklerden biridir.

Başlangıç durumu

Üç kapalı kapının arkasında bir araba ve iki keçi vardır. Yarışmacı önce bir kapı seçer. Sunucu daha sonra başka bir kapıyı açar ve arkasında bir keçi olduğunu gösterir. Yarışmacı ilk seçimini koruyabilir veya kapalı kalan tek diğer kapıya geçebilir.

Klasik çözüm için dört kural belirleyicidir:

• Sunucu arabanın hangi kapının arkasında olduğunu bilir.
• İlk seçilen kapıyı asla açmaz.
• Her zaman arkasında keçi olan bir kapıyı açar.
• Daha sonra her zaman kapı değiştirme seçeneği sunar.

Yaygın 50:50 sezgisi

Keçinin bulunduğu kapı açıldıktan sonra yalnızca iki kapı kapalı kalır. Bu nedenle arabanın artık bu iki kapının arkasında eşit olasılıkla bulunduğunu düşünmek doğal gelir. Fakat bu düşünce, sunucunun kapıyı rastgele açmadığını gözden kaçırır. Sunucu arabanın yerini bilir ve oyun kuralları gereği bir keçi göstermek zorundadır.

Sunucunun verdiği bilgi ilk seçimin olasılığını geriye dönük olarak değiştirmez. İlk seçim yapıldığında doğru olma olasılığı üçte birdi ve üçte bir olarak kalır. Başlangıçta seçilmeyen iki kapının toplam olasılığı üçte ikiydi. Sunucu bu gruptan bilinçli olarak bir keçi kapısını çıkardığında, üçte ikilik olasılığın tamamı kapalı kalan tek diğer kapıda kalır.

Çözüm 1: Bütün olası ilk seçimler

Arabanın Kapı 1’in arkasında olduğunu varsayalım. Üç kapının her biri başlangıçta eşit olasılıkla seçildiği için üç eş olasılıklı durum vardır:

İlk seçiminde kalan kişi yalnızca arabayı ilk anda seçmişse kazanır: üç durumdan biri. Her zaman değiştiren kişi ise ilk seçim yanlış olduğunda kazanır: üç durumdan ikisi.

Çözüm 2: Kapı gruplarının olasılığı

İlk seçimde arabayı bulma olasılığı üçte birdir. Buna karşılık arabanın diğer iki kapıdan birinin arkasında olma olasılığı üçte ikidir.

Sunucu daha sonra ek bilgi verir, ama yalnızca başlangıçta seçilmeyen iki kapının oluşturduğu grup içinde: orada bilinçli olarak bir keçi gösterir. Üçte ikilik olasılık açılan kapıda kalamaz, çünkü artık orada kesinlikle araba olmadığını biliyoruz. Böylece üçte iki, kapalı kalan tek diğer kapıda kalır.

Başka bir deyişle, değiştirme stratejisi tam olarak ilk seçim yanlış olduğunda kazanır. İlk seçimin yanlış olma olasılığı üçte iki olduğuna göre, değiştirme stratejisinin kazanma olasılığı da üçte ikidir.

100 kapılı düşünce deneyi

Yüz kapıyla fark çoğu zaman daha sezgisel hâle gelir:

1. 100 kapıdan birinin arkasında araba vardır.
2. Bir kapı seçersiniz. Doğru kapıyı seçme olasılığınız yalnızca %1’dir.
3. Arabanın yerini bilen sunucu diğer 98 kapıyı açar ve her birinin arkasında keçi gösterir.
4. Yalnızca ilk seçtiğiniz kapı ve bir başka kapı kapalı kalır.

Diğer kapılar açıldı diye ilk kapı birdenbire daha olası hâle gelmez; hâlâ yalnızca %1 kazanma şansına sahiptir. Geri kalan %99, kapalı kalan tek diğer kapının üzerindedir. Bu kurallar altında kapı değiştirmek çok daha açık biçimde avantajlı görünür.

Python simülasyonuyla kontrol

Simülasyon matematiksel kanıtın yerini tutmaz, ancak sonucu deneysel olarak görünür kılar. Aşağıdaki program, sunucunun kurallara uygun seçimi de dâhil olmak üzere tüm süreci simüle eder:

import random

rng = random.Random(2026)
doors = (0, 1, 2)
games = 100_000

stay_wins = 0
switch_wins = 0

for _ in range(games):
    car = rng.choice(doors)
    first_choice = rng.choice(doors)

    # Sunucu ne seçilen kapıyı ne de
    # arabanın bulunduğu kapıyı açabilir.
    possible_doors = [
        door for door in doors
        if door != first_choice and door != car
    ]
    opened = rng.choice(possible_doors)

    switch_door = next(
        door for door in doors
        if door not in (first_choice, opened)
    )

    if first_choice == car:
        stay_wins += 1
    if switch_door == car:
        switch_wins += 1

print(f"Kalmak:      {stay_wins / games:.3%}")
print(f"Değiştirmek: {switch_wins / games:.3%}")

Sabit 2026 tohumu kullanıldığında sonuç yeniden üretilebilir:

Kalmak:      33.195%
Değiştirmek: 66.805%

Başka başlangıç değerlerinde sonuçlar biraz değişir. Oyun sayısı arttıkça teorik değerler olan üçte bir ve üçte ikiye giderek daha fazla yaklaşırlar.

Hangi durumda hesap farklı olurdu?

Çözüm, sunucunun davranışına bağlıdır. Sunucu kapıyı rastgele açarsa, arabanın yerini bilmiyorsa, her zaman değiştirme seçeneği sunmuyorsa veya başka bir seçim kuralı izliyorsa farklı bir olasılık modeli ortaya çıkar. “Değiştirmek üçte iki olasılıkla kazandırır” ifadesi bu nedenle her olası varyant için değil, yukarıdaki klasik kurallar için geçerlidir.

Problem neden öğreticidir?

Monty Hall problemi, olasılıkların yalnızca görünürde kaç seçenek kaldığına bakılarak değerlendirilemeyeceğini gösterir. Gözlenen bilginin nasıl ortaya çıktığı da önemlidir. Bilgili bir sunucunun bilinçli eylemi, rastgele bir seçimden farklıdır.

Gero von Randow’un kitabı

Gero von Randow, Monty Hall problemini olasılık, rastlantı ve tipik düşünme hataları üzerine herkesçe anlaşılabilir bir tartışmanın başlangıç noktası olarak kullanır. Kitap, istatistiksel düşünmenin neden çoğu zaman doğrudan sezgimize ters düştüğünü ve bu nedenle biçimsel bir incelemenin neden yararlı olduğunu gösterir.

Kaynak: Gero von Randow, Das Ziegenproblem – Denken in Wahrscheinlichkeiten, Rowohlt.