Le problème de Monty Hall

Le problème dit des trois portes — connu internationalement sous le nom de problème de Monty Hall — est l’un des exemples les plus célèbres d’un résultat probabiliste qui contredit notre intuition spontanée.

La situation de départ

Derrière trois portes fermées se trouvent une voiture et deux chèvres. Une candidate ou un candidat choisit d’abord une porte. L’animateur ouvre ensuite une autre porte derrière laquelle se trouve une chèvre. La personne peut alors conserver son premier choix ou passer à l’unique autre porte encore fermée.

Quatre règles sont décisives pour la solution classique :

• L’animateur sait derrière quelle porte se trouve la voiture.
• Il n’ouvre jamais la porte choisie au départ.
• Il ouvre toujours une porte derrière laquelle se trouve une chèvre.
• Il propose toujours ensuite de changer de porte.

L’intuition répandue du 50:50

Une fois la porte avec la chèvre ouverte, il ne reste que deux portes fermées. Il paraît donc naturel de penser que la voiture doit se trouver avec la même probabilité derrière chacune d’elles. Ce raisonnement oublie cependant que l’animateur n’a pas ouvert une porte au hasard. Il connaît la position de la voiture et les règles du jeu l’obligent à montrer une chèvre.

L’information donnée par l’animateur ne modifie donc pas rétroactivement la probabilité du premier choix. Au moment du choix, celle-ci valait un tiers et elle reste d’un tiers. Les deux portes non choisies au départ avaient ensemble une probabilité de deux tiers. Lorsque l’animateur retire délibérément de ce groupe une porte avec une chèvre, toute la probabilité de deux tiers reste sur l’unique autre porte fermée.

Solution 1 : tous les premiers choix possibles

Supposons que la voiture se trouve derrière la porte 1. Comme chacune des trois portes a la même probabilité d’être choisie au départ, trois cas équiprobables existent :

Celui qui conserve son premier choix ne gagne que si la voiture a été trouvée immédiatement : un cas sur trois. Celui qui change systématiquement gagne chaque fois que le premier choix était faux : deux cas sur trois.

Solution 2 : la probabilité des groupes de portes

Lors du premier choix, la probabilité de trouver la voiture est d’un tiers. Inversement, la probabilité que la voiture soit derrière l’une des deux autres portes est de deux tiers.

L’animateur fournit ensuite une information supplémentaire, mais uniquement à l’intérieur du groupe des deux portes non choisies : il y montre délibérément une chèvre. La probabilité de deux tiers ne peut pas rester sur la porte ouverte, puisque nous savons maintenant avec certitude que la voiture n’y est pas. Les deux tiers restent donc sur l’unique autre porte fermée.

Autrement dit, la stratégie du changement gagne exactement lorsque le premier choix était faux. Comme ce premier choix est faux avec une probabilité de deux tiers, la stratégie du changement gagne elle aussi avec une probabilité de deux tiers.

L’expérience de pensée des 100 portes

Avec cent portes, la différence devient généralement plus intuitive :

1. Une voiture est cachée derrière l’une des 100 portes.
2. On choisit une porte. La probabilité d’avoir trouvé la voiture n’est que de 1 %.
3. L’animateur informé ouvre 98 autres portes et montre une chèvre derrière chacune d’elles.
4. Seules la porte choisie au départ et une autre porte restent fermées.

La première porte n’est pas devenue soudainement plus probable parce que les autres ont été ouvertes ; elle conserve seulement 1 % de chances. Les 99 % restants se trouvent sur l’unique autre porte fermée. Avec ces règles, l’intérêt du changement devient particulièrement évident.

Vérification par une simulation Python

Une simulation ne remplace pas la démonstration mathématique, mais elle rend le résultat visible expérimentalement. Le programme suivant simule le déroulement complet, y compris le choix de l’animateur conforme aux règles :

import random

rng = random.Random(2026)
doors = (0, 1, 2)
games = 100_000

stay_wins = 0
switch_wins = 0

for _ in range(games):
    car = rng.choice(doors)
    first_choice = rng.choice(doors)

    # L'animateur ne peut ouvrir ni la porte choisie
    # ni celle derrière laquelle se trouve la voiture.
    possible_doors = [
        door for door in doors
        if door != first_choice and door != car
    ]
    opened = rng.choice(possible_doors)

    switch_door = next(
        door for door in doors
        if door not in (first_choice, opened)
    )

    if first_choice == car:
        stay_wins += 1
    if switch_door == car:
        switch_wins += 1

print(f"Rester :  {stay_wins / games:.3%}")
print(f"Changer : {switch_wins / games:.3%}")

Avec la graine fixe 2026, le résultat est reproductible :

Rester :  33.195%
Changer : 66.805%

Avec d’autres graines, les valeurs varient légèrement. Lorsque le nombre de parties augmente, elles se rapprochent cependant de plus en plus des valeurs théoriques d’un tiers et de deux tiers.

Quand le calcul serait-il différent ?

La solution dépend du comportement de l’animateur. S’il ouvre une porte au hasard, s’il ignore où se trouve la voiture, s’il ne propose pas toujours de changer ou s’il suit une autre règle de sélection, le modèle probabiliste devient différent. L’affirmation « changer gagne avec une probabilité de deux tiers » ne vaut donc pas pour toute variante possible, mais pour les règles classiques indiquées plus haut.

Pourquoi ce problème est-il instructif ?

Le problème de Monty Hall montre qu’on ne peut pas évaluer une probabilité uniquement en comptant les possibilités visiblement restantes. Il faut aussi tenir compte de la manière dont l’information observée a été produite. L’action ciblée d’un animateur informé est différente d’une sélection aléatoire.

Le livre de Gero von Randow

Gero von Randow utilise le problème de Monty Hall comme point de départ pour une réflexion accessible sur les probabilités, le hasard et les erreurs de raisonnement typiques. Son livre montre pourquoi la pensée statistique entre souvent en conflit avec notre intuition immédiate — et pourquoi une analyse formelle est précisément utile pour cette raison.

Référence : Gero von Randow, Das Ziegenproblem – Denken in Wahrscheinlichkeiten, Rowohlt.