Article historique : ce texte est fondé sur un ancien article de Klein-Singen.de. Il documente les débats et les données disponibles à l’époque et n’a pas été réécrit silencieusement comme s’il décrivait la situation actuelle.
Un système électoral proportionnel doit répartir un nombre limité de sièges parlementaires en fonction de la part des voix obtenue par les partis. La tâche serait triviale si le nombre de sièges était égal au nombre d’électeurs. Comme un parlement contient beaucoup moins de sièges que de voix, les droits fractionnaires doivent être convertis en nombres entiers.
Cette conversion ouvre la possibilité de paradoxes. Les différentes méthodes utilisent des principes d’arrondi différents. Mathématiquement, on distingue notamment les méthodes de quota et les méthodes de diviseur.
- D’Hondt : méthode de diviseur associée, dans sa représentation par quotients, à un arrondi systématique vers le bas.
- Sainte-Laguë : méthode de diviseur utilisant l’arrondi standard.
- Hare/Niemeyer : méthode de quota au plus fort reste.
La méthode Hare/Niemeyer
Pour chaque parti, on calcule le quota :
voix du parti / total des voix valides × nombre total de sièges
La partie entière est attribuée d’abord. Les sièges restants sont ensuite distribués selon les plus grands restes fractionnaires.
Cette méthode paraît intuitivement équitable, mais les méthodes au plus fort reste peuvent produire des effets surprenants.
Le paradoxe de l’Alabama
Si l’on augmente le nombre total de sièges d’un parlement alors que la répartition des voix reste inchangée, un parti peut perdre un siège. Cet effet est devenu célèbre à la suite d’un problème historique de répartition aux États-Unis et porte donc le nom de paradoxe de l’Alabama.
L’ancien article allemand illustrait l’effet à l’aide de chiffres d’élections au Bundestag : lorsque le nombre total de sièges passait de 656 à 657, un parti pouvait perdre un siège alors qu’aucun nombre de voix n’avait changé. Le siège supplémentaire modifiait l’ordre des restes fractionnaires.
Le paradoxe des nouveaux États
Ajouter ou retirer un parti avec ses voix et les sièges correspondants peut modifier la répartition entre les autres partis. Dans les systèmes comportant un seuil électoral, l’entrée ou la sortie d’un parti du groupe participant à la répartition peut donc affecter les concurrents de manière peu intuitive.
Le paradoxe de population
Avec certaines procédures de répartition, un parti peut gagner des voix par rapport à un autre et néanmoins lui perdre un siège. Plus généralement, la modification du total de voix d’un parti peut changer la répartition entre d’autres partis dont les propres résultats n’ont pas bougé.
Pourquoi ces effets apparaissent-ils ?
Ces paradoxes ne sont pas des erreurs de calcul. Ils résultent de l’interaction entre :
- des droits proportionnels fractionnaires ;
- un nombre entier fixe de sièges ;
- une règle particulière d’arrondi ou de restes.
Aucune méthode de répartition ne peut satisfaire simultanément tous les critères d’équité souhaitables. Le choix de la méthode n’est donc pas purement technique : il détermine quelles propriétés mathématiques sont garanties et quels paradoxes restent possibles.
L’article historique utilisait Hare/Niemeyer parce que cette méthode était directement pertinente pour la pratique électorale allemande de l’époque. Aujourd’hui, la leçon mathématique générale est plus durable : les règles d’arrondi peuvent avoir des conséquences politiques.