Orange ou rouge et jaune ?
Cet exemple montre à quel point des témoignages sincères peuvent être mal interprétés. Il est inspiré d’un chapitre du livre Der Schein der Weisen de Hans-Peter Beck-Bornholdt et Hans-Herrmann Dubben.
Les équipes de deux clubs de football, le FC Schwalbe et le FC Money-Cicker, s’affrontent dans un match important pour les deux clubs. Le FC Schwalbe gagne. Du point de vue du club de supporters du FC Money-Cicker, cette victoire n’est toutefois due qu’à de mauvaises décisions de l’arbitre et à un jeu déloyal. Malgré une forte présence policière, des émeutes éclatent pendant la nuit.
Dans une ruelle sombre, M. Dackelberger, qui promène son chien, voit quelqu’un être jeté à terre et une silhouette portant une veste orange prendre la fuite. De telles vestes sont portées par les membres du noyau dur des supporters du FC Money-Cicker.
Pour la presse locale, l’affaire semble claire : un supporter du FC Money-Cicker n’aurait pas supporté la défaite et aurait frappé un supporter de l’autre club au point de l’envoyer à l’hôpital. Un lecteur fait cependant remarquer qu’au crépuscule une veste orange peut facilement être confondue avec une veste rouge et jaune, comme celles portées par les supporters du FC Schwalbe.
D’après son estimation, 100 hooligans du FC Schwalbe et 20 hooligans du FC Money-Cicker se trouvaient en ville au moment des faits. Sans autre information, cela signifierait d’abord que 100 des 120 auteurs possibles, soit environ 83 %, appartenaient au FC Schwalbe.
M. Fermat, professeur de mathématiques à la retraite, ajoute toutefois un point décisif : la probabilité d’erreur du témoin. Supposons que le témoin identifie correctement la couleur de la veste dans 80 % des cas et se trompe dans 20 % des cas.
| Couleur de la veste | Nombre | Le témoin croit voir rouge-jaune | Le témoin croit voir orange |
|---|---|---|---|
| orange | 20 | 20 % de 20 : 4 | 80 % de 20 : 16 |
| rouge-jaune | 100 | 80 % de 100 : 80 | 20 % de 100 : 20 |
Au total, le témoin croit donc voir une veste orange dans 36 cas : 16 fois à juste titre et 20 fois par erreur. Sous la condition qu’il signale « orange », la probabilité d’une erreur est donc
20 / 36 ≈ 55,6 %.
Bien que le témoin reconnaisse correctement la couleur dans 80 % de toutes les observations individuelles, une déclaration concrète « orange » est, dans ce scénario, plus souvent fausse que vraie. La raison est la forte différence de fréquence de départ entre les deux couleurs. L’exemple illustre ce que l’on appelle l’erreur de taux de base.